Question

（2005?广元）如图，扇形ODE的圆心角为120°，正三角形ABC的中心恰好为扇形ODE的圆心，且点B在扇形ODE内

（2005?广元）如图，扇形ODE的圆心角为120°，正三角形ABC的中心恰好为扇形ODE的圆心，且点B在扇形ODE内（1）请连接OA、OB，并证明△AOF≌△BOG；（2）求证：△ABC与扇形ODE重叠部分的面积等于△ABC面积的13．

Answer 1

证明：（1）如图，连接OA、OB，设OD交AB于F，OE交BC于G，
∵O是正三角形的中心，
∴OA=OB，∠OAF=∠OBG，∠AOB=120°，
∴∠AOF=120°-∠BOF，
∠BOG=120°-∠BOF，
∴∠AOF=∠BOG，
在△AOF和△BOG中

∠OAF＝∠OBG OA＝OB ∠AOF＝∠BOG

，
∴△AOF≌△BOG（ASA），

（2）当扇形的圆心角为120°时，△ABC与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC的面积的

1

3

．
证明如下：
①当扇形的圆心角与正三角形的中心角重合时：
显然，△ABC与扇形重叠部分的面积等于△ABC的面积的

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3

；
②当扇形的圆心角与正三角形的中心角不重合时：
根据（1）中△AOF≌△BOG（ASA），
即S_{四边形OFBG}=S_△AOB=

1

3

S_△ABC，
即△ABC与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC的面积的

1

3

，
同理可证，当扇形ODE旋转至其他位置时，结论仍成立．
由①、②可知，当扇形的圆心角为120°时，△ABC与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC的面积的

1

3

．