如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,⊙C的圆心坐标为(-2,-2),半径为 ,函数y=-x+2的图象与x轴

如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,⊙C的圆心坐标为(-2,-2),半径为,函数y=-x+2的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P为AB上一动点。(1)连接CO,... 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,⊙C的圆心坐标为(-2,-2),半径为 ,函数y=-x+2的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P为AB上一动点。
(1)连接CO,求证:CO⊥AB;(2)若△POA是等腰三角形,求点P的坐标;(3)当直线PO与⊙C相切时,求∠POA的度数;当直线PO与⊙C相交时,设交点为E、F,点M为线段EF的中点,令PO=t,MO=s,求s与t之间的函数关系,并写出t的取值范围。
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解:(1)延长CO交AB于D,过点C作CG⊥x轴于点G
∵直线AB的函数关系式是y=-x+2,
∴易得A(2,0),B(0,2),
∴AO=BO=2
又∵∠AOB=90°,
∴∠DAO=45°
∵C(-2,-2),
∴CG=OG=2,
∴∠COG=45°,∠AOD=45°,
∴∠ODA=90°
∴OD⊥AB,即CO⊥AB。
(2)要使△POA为等腰三角形
①当OP=OA时,此时点P与点B重合,所以点P的坐标为(0,2);
②当OP=PA时,由∠OAB=45°,所以点P恰好是AB的中点,
所以点P的坐标为(1,1);
③当AP=AO时,则AP=2,过点作PH⊥OA交OA于点H,
在Rt△APH中,易得PH=AH=
∴OH=2-
∴点P的坐标为(2-
∴若△POA为等腰三角形,则点P的坐标为(0,2)或(1,1)或(2- )。
(3)当直线PO与⊙C相切时,设切点为K,连接CK,则CK⊥OK
由点C的坐标为(-2,-2),易得CO=
∴∠POD=30°,
又∠AOD=45°,
∴∠POA=75°,
同理可求得∠POA的另一个值为15°
∵M为EF的中点,
∴CM⊥EF,
又∵∠COM=∠POD,CO⊥AB,
∴△COM∽△POD,
所以
即MO·PO=CO·DO
∵PO=t,MO=s,
CO= ,DO=
∴st=4
但PO过圆心C时,MO=CO= ,PO=DO=
即MO·PO=4,也满足st=4
∴s= ≤t≤ )。

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