Question

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，-bcosB，ccosA成等差数列．（I）求角B的大小；（Ⅱ）

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，-bcosB，ccosA成等差数列．（I）求角B的大小；（Ⅱ）若b=27，S△ABC＝23，求a，c的长．

Answer 1

（I）∵acosC，-bcosB，ccosA成等差数列，
∴-2bcosB=acosC+ccosA，
利用正弦定理化简得：-2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），
又sin（A+C）=sin（π-B）=sinB，
∴-2sinBcosB=sinB，
又B为三角形的内角，∴sinB≠0，
∴cosB=-

1

2

，
则B=

2π

3

；
（Ⅱ）∵B=

2π

3

，∴sinB=

3

2

，
又S_△ABC

1

2

acsinB=2

3

，
∴ac=8①，
又b=2

7

，cosB=-

1

2

，
∴由余弦定理得：cosB=

a2+c2?b2

2ac

=

a2+c2?28

16

=-

1

2

，
可得：a²+c²=20，
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=20+16=36，
∴a+c=6②，
联立①②解得：a=2，c=4或a=4，c=2，
则a=2，c=4或a=4，c=2．