Question

已知an=log（n+1）（n+2），（n∈N*），若称使乘积a1?a2?a3…an为整数的数n为劣数，则在区间（1，2010）

已知an=log（n+1）（n+2），（n∈N*），若称使乘积a1?a2?a3…an为整数的数n为劣数，则在区间（1，2010）内所有劣数的和为（　　）A．2026B．2046C．1024D．1022

Answer 1

由题意a_n=log_（n+1）（n+2），（n∈N^*），若称使乘积a₁?a₂?a₃…a_n为整数的数n为劣数且a₁?a₂?a₃…a_n=log₂（n+2）
故劣数n=2^k-2，故最小的劣数为2=2²-2，令n=2^k-2＜2010，
由于2¹⁰-2=1022，2¹¹-2=2046
故最大的劣数为2¹⁰-2
∴（1，2010）内所有劣数的和为2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=

22×(1?29)

1?2

-18=2¹¹-22=2026
故选A