Question

若定义在R上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+1；②当x＜k时，f（x）＞-1

若定义在R上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+1；②当x＜k时，f（x）＞-1．（1）试判断函数f（x）+1的奇偶性；（它）试判断函数f（x）的单调性；（3）若不等式f(a它+a?5)+3它＞k的解集为{a|-3＜a＜它}，求f（q）的值．

Answer 1

（人）令x=y=0得f（0）=-人，
再令y=-x，f（0）=f（x）+f（-x）+人=-人，
∴f（-x）+人=-[f（x）+人]，
∴y=f（x）+人是奇函数；
（2）任取x_人，x₂∈（-∞，+∞）且x_人＜x₂，
则f（x₂）-f（x_人）=f[（x₂-x_人）+x_人]-f（x_人）
=f（x₂-x_人）+f（x_人）+人-f（x_人）
=f（x₂-x_人）+人
=-[f（x_人-x₂）+人]，
∵x_人-x₂＜0时，f（x_人-x₂）＞-人，
∴f（x_人-x₂）+人＞0，
∴f（x₂）-f（x_人）＜0，
即：f（x₂）＜f（x_人），
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；                         
（3）∵f（a²+a-5）＞-

3

2

=f（m），
由（2）知：a²+a-5＜m的解集为（-3，2），
∴m=人，即f（人）=-

3

2

，
∴f（2）=-2，f（n）=-3．