Question

抽象函数的单调性 高一数学

Answer 1

解：（1）∵对任何x和y，f（x+y）=f（x）•f（y） 
令y=0 
则f（x）=f（x）•f（0） 
又∵存在x 1≠x 2，使得f（x 1）≠f（x 2）， 
即函数不为常数函数，即f（x）=0不成立 
∴f（0）=1． 
（2）令y=x≠0， 
则f（2x）=f（x）•f（x）=f 2（x）≥0 
又由（1）中f（x）≠0， 
∴f（2x）＞0，即f（x）＞0， 
故对任意x，f（x）＞0恒成立．

追答

采纳可好？

追问

为什么要设y为0

追答

本题考查的知识点是抽象函数的应用，求抽象函数的函数值，其中解答中易忽略条件：存在x 1≠x 2，使得f（x 1）≠f（x 2）的意义，而得到错解f（0）=0和f（x）≥0．解：（1）∵对任何x和y，f（x+y）=f（x）•f（y） 
令y=0 
则f（x）=f（x）•f（0） 
又∵存在x 1≠x 2，使得f（x 1）≠f（x 2）， 
即函数不为常数函数，即f（x）=0不成立 
∴f（0）=1． 
（2）令y=x≠0， 
则f（2x）=f（x）•f（x）=f 2（x）≥0 
又由（1）中f（x）≠0， 
∴f（2x）＞0，即f（x）＞0， 
故对任意x，f（x）＞0恒成立．

（1）由已知中，存在x 1≠x 2，使得f（x 1）≠f（x 2），可知函数不是常数函数，又由对任何x和y，f（x+y）=f（x）•f（y）成立，令y=0，可得f（0）的值． 
（2）根据对任何x和y，f（x+y）=f（x）•f（y）成立，令y=x≠0，可得f（2x）=f 2（x）≥0，结合（1）中结论f（x）≠0，可得f（2x）＞0，即f（x）＞0． 

OK？

Answer 2

楼上是错的，我问问学姐们，

追答

这个，

追问

为什么设y为0 最后怎么就变成1了