Question

高数不定积分与全微分问题！

求不定积分：∫dx/(1+x)的平方再乘以x.
已知 分子是 (x+ay)dx+ydy ,分母是(x+y)的平方的分式是某个函数的全微分，则实数a的值为____.

Answer 1

∫dx/x(1+x)^2

=∫dx/x(1+x)-∫dx/(1+x)^2

=∫dx/x-∫dx/(1+x)-∫d(x+1)/(1+x)^2

=ln|x|-ln|x+1|+1/(x+1)+C

=ln|x/(x+1)|+1/(x+1)+C

全微分dz=(x+ay)/(x+y)^2*dx+y/(x+y)^2*dy

经过计算原函数z=ln(x+y)-y/(x+y)+C

所以a=2

Answer 2

1,化为简单的有理分式，就行了。
2，可以翻书看曲线积分与路径无关。所以dx的系数关于y求偏导数=dy的系数关于x求偏导数。通过这个等式立即就可以求出a的值。