Question

复变函数的级数和普通级数的泰勒展开有什么区别

Answer 1

楼上网友的回答，是想象式的，没有涉及到实质。
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复变函数 complex variables 在展开时的特点：
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1、麦克劳林级数 Maclaurin series，在形式上、意义上，
都是一样的，都是在原点的展开；
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2、泰勒级数 Taylor series，在形式上是一样的，只是
复变函数的展开点是复数而已；
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3、无论是麦克劳林级数，还是泰勒级数，都是只有正幂次项；
而复变函数中，级数有负幂次项，一直到负无穷，这样的
级数称为洛朗级数 Laurent series。
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4、在实平面上任意一个闭合回路上的积分，不一定等于零；
在复平面上任何一个闭合回路上的积分，就出现了奇迹：
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A、若回路内闭合区域上的复变函数是解析的 analytic，积分为零；
这是充分但不是必要条件，也就是说，积分为零，不一定解析。
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B、若复变函数不解析，也就是说有奇点，积分的结果居然仅仅只
跟 z 的负一次幂有关，这就是留数定理 Residue theorem 的
内容，仅仅在定积分上，留数定理提供了一个非常巧妙的途径，
在定积分上完全无望积分的问题，在这里提供了有效途径，例
如 sinx/x 定积分。
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C、由此而展开的方法，能解决众多的微积分中的数学问题跟物理
应用问题。涉及到非常非常深刻的数学物理方法问题、方法论
问题、理论物理问题，奇妙无穷。在这方面，几乎所有的大学
微积分教师，都显得捉襟见肘、酒囊饭袋，能称为国际一流大
师者没有半个的半个。
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Answer 2

复变函数往往有复数i，利用无穷级数拆分时就会复杂些