Question

按麦克劳林公式展开，我觉得展开到这一步，就能得到高一阶的X，但是为什么答案上是展开到了立方

后面没补充完，但是我的主要问题是展开到几次的问题，，，个人觉得平方就够了，因为平方和里面的平方可以凑成4次，，但是昨完发现答案不对，参照了答案才发现是展开到立方，但是没太看懂

Answer 1

这个问题不错，其实解释很简单：高阶无穷小与分母的比值趋于0，这是次要部分，不影响最终结果，所以你可以多展开几项而得到相同的结果；但是绝不能漏写同阶或低阶无穷小，因为这是决定极限的主要部分，一旦忽略低阶无穷小，必然出错。
回到这个问题本身，分母是x^3，所以为了不忽略关于x^3的低阶无穷小，泰勒展开式必须保证与1+Bx+Cx^2的乘积不漏掉3次项，1+Bx+Cx^2中最低次幂为0，所以e^x至少展开到3次幂，否则在和1+Bx+Cx^2中的1相乘时就漏掉了1/6x^3这个相对分母的同阶无穷小。