Question

设矩阵A＝［a1，a2，a3，a4］，其中a2，a3，a4线性无关，a1＝2a2－a3，向量β

设矩阵A＝［a1，a2，a3，a4］，其中a2，a3，a4线性无关，a1＝2a2－a3，向量β＝a1+a2+a3+a4，则线性方程组Ax＝β的通解为？

Answer 1

解: 因为b=a1+a2+a3+a4,
所以 (1,1,1,1)'是Ax=b的特解.
因为a2,a3,a4线性无关, a1=2a2-a3.
所以 r(A) = 3
所以 Ax=0 的基础解系含 4-r(A)=1 个向量.
又则a1=2a2-a3知 a1-2a2+a3=0.
所以 (1,-2,1,0)' 是Ax=0的解.
故是Ax=0的基础解系.
所以方程组 Ax=b 的通解为: (1,1,1,1)'+c(1,-2,1,0)'.