Question

几道奥数题请教请教哈！各位都进来看看、\。

若一个自然数能表示为若干个正整数之和，且这些正整数的倒数和恰等于1，刚称为金鸡数，比如2+4+8+8=22且1/2+1/4+1/8+1/8=1,即22时一个金鸡数。证明：17是金鸡数
从1~50里面至少选出几个数，才能保证其中必有两个数的和是7的倍数？

Answer 1

第一个题目有点悬

从1~50里面至少选出几个数，才能保证其中必有两个数的和是7的倍数？
得取24个
按余数分类，然后把
余数为0的归为一组，
余数为1、6的归为一组，
余数为2、5的归为一组，
余数为3、4的归为一组。
要保证：
或第一组取得2个
或第二组取到9个
或第三组取到8个
或第四组取得8个
满足上面要求至少要超过
1+8+7+7=23个
所以24个

Answer 2

分母和为17即可。1=1/2+1/2=1/2+1/3+1/6，再分解下去，无论怎样分母和都超17。
1=1/3+1/3+1/3=1/3+1/4+1/12，不符题意。
1=1/4+1/4+1/4+1/4=1/4+1/5+1/20+1/4+1/4，同样不符题意。
无需再往下分解，因分母和显而易见大于17。故17不是金鸡数。
除以7，余数为0的有7个；
除以7，余数为1的有7个；
除以7，余数为2的有6个；
除以7，余数为3的有6个；
除以7，余数为4的有6个；
除以7，余数为5的有6个；
除以7，余数为6的有6个；
根据最不利原则，至少选21个才能保证其中必有两个数的和是7的倍数。

Answer 3

第一题：17＝3＋4＋4＋6，而1/3＋1/4＋1/4＋1/6＝1，故17是金鸡数。
思路：注意到1/2＋1/3＋1/6＝1，而分母的和是13，与17相差6，故将1/2化成两个1/4的和，分母和刚好增加6，从而得出结论。
第二题：
1至50中，被7整除，
余数是0的有7个数；
余数是1的有8个数；
余数是2的有7个数；
余数是3的有7个数；
余数是4的有7个数；
余数是5的有7个数；
余数是6的有7个数。
最糟糕的情况是，在余数为0的那组里取了一个数，在余数是1的那组里取了8个数，在余数为2(或5)的那组里取了7个数，在余数为3(或4)那组里取了7个数，此时还不存在两个数的和是7的倍数，但再取一个数必存在某两个数的和是7的倍数，因此至少应该取8＋7＋7＋1＋1＝24个数