证明(A∪B)∩(~A∪C)=(A∩C)∪(~A∩B)
x∈A∪(B∩C)x∈A或x∈B∩Cx∈A或x∈B且x∈C所以x∈(A∪B)∩(A∪C)A∪(B∩C)是(A∪B)∩(A∪C)的子集若x∈(A∪B)∩(A∪C)x∈A∪B
且x∈A∪Cx∈A或x∈B且x∈A或x∈Cx∈A∪(B∩C)A∪B)∩(A∪C是A∪(B∩C)的子集
所以A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
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特性
确定性,给定一个集合,任给一个元素,该元素或者属于或者不属于该集合,二者必居其一,不允许有模棱两可的情况出现 。
互异性,一个集合中,任何两个元素都认为是不相同的,即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画,可以使用多重集,其中的元素允许出现多次 。
无序性,一个集合中,每个元素的地位都是相同的,元素之间是无序的。集合上可以定义序关系,定义了序关系后,元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言,元素之间没有必然的序
参考资料:百度百科-集合
(1)假设:x∈A∩(B∪C)
∵x∈A且x∈B∪C
∴x∈B或x∈C
∵x∈A∩B或x∈A∩C
∴x∈(A∩B)∪(A∩C)
∴左边集合属于右边集合
(2)假设:x∈(A∩B)∪(A∩C)
∵x∈A∩B或x∈A∩C
若x不∈B,则x∈A∩C
∴x∈A∩(B∪C)
若x不∈C,则x∈A∩B
∴x∈A∩(B∪C)
综上:x∈A∩(B∪C)
所以右边集合属于左边集合
子集是一个数学概念:如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A称为集合B的子集。
符号语言:若∀a∈A,均有a∈B,则A⊆B。
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性质:
一、根据子集的定义,我们知道A⊆A。也就是说,任何一个集合是它本身的子集。
二、对于空集∅,我们规定∅⊆A,即空集是任何集合的子集。
说明:若A=∅,则∅⊆A仍成立。
证明:给定任意集合A,要证明∅是A的子集。这要求给出所有∅的元素是A的元素;但是,∅没有元素。对有经验的数学家们来说,推论“∅没有元素,所以∅的所有元素是A 的元素"是显然的;但对初学者来说,有些麻烦。
为了证明∅不是A的子集,必须找到一个元素,属于∅,但不属于A。 因为∅没有元素,所以这是不可能的。因此∅一定是A的子集。
即 x∈A∪B 且 x∈C
即 (x∈A或x∈B) 且x∈C
情况1:若x∈A,即 x∈A且x∈C,即x∈A∩C,得x∈右
情况2:若x∈B,和情况1一样推出 x∈右
综上,得x∈右
即 左包含于右
取x∈右
即 x∈A∩C 或 x∈B∩C
情况1:若x∈A∩C,即x∈A,且x∈C
由x∈A,得到x∈A∪B,于是得 x∈A∪B 且x∈C
即x∈左
情况2:若x∈B∩C,和情况1一样,可得到x∈左
综上得 x∈左
得到 右包含于左
于是左=右