Question

设线性方程组 问λ取何值时此方程组（1)有唯一解；（2)无解；

问λ取何值时此方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多解？并在有无穷多解时，求出一般解．

Answer 1

111＋λλ

0λ－λ3－λ

00－λ×λ－3λ－λ×λ－2λ＋3

上面是增广矩阵的化简形式。

如果λ＝0，则矩阵为：

1 1 1 0<b

矩阵A＝

｜1＋λ11｜

｜11＋λ1｜

｜111＋λ｜

向量b＝（03λ）T当λ＝0时，rank（A）＝1，rank（A，b）＝2，无解。

当λ≠0时，rank（A）＝3，rank（a，b）＝3，有唯一解。

扩展资料

其他方法：

增广矩阵为

λ111

1λ1λ

11λλ＾2

r1－λr2，r2－r3

01－λ＾21－λ1－λ＾2

0λ－11－λλ（1－λ）

11λλ＾2

r1＋（λ＋1）r2

00（1－λ）（2＋λ）（1－λ）（1＋λ）＾2

0λ－11－λλ（1－λ）

11λλ＾2

r1<->r3

11λλ＾2

0λ－11－λλ（1－λ）

00（1－λ）（2＋λ）（1－λ）（1＋λ）＾2

所以，

当λ≠1且λ≠－2时，r（A）＝r（增广矩阵）＝3，方程组有唯一解。

当λ＝－2时，r（A）＝2，r（增广矩阵）＝3，方程组无解。

当λ=1 时, r(A)=1=r(增广矩阵)<3, 方程组有无穷多解。

注：该方法难点在化梯矩阵，化成梯矩阵后就简单了。

Answer 2

系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等时，有解

秩相等，且都小于3时，有无穷多组解
秩相等，且都是3时，有唯一解

秩不相等（此时系数矩阵行列式等于0，且系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩）时，无解

Answer 3