Question

高中数学圆锥曲线难题

第二问设直线 x=my+b怎么做？ 必须设x=my+b做，谢谢

Answer 1

1、证明：见下图，做直线L:x=-p/2;做MG//x轴，交L于G；做NH//x轴，交L于H；根据抛物线的定义：

|MF|+|NF|=|MG|+|NG|=|Mx-(-p/2)|+|Nx-(-p/2)|=|Mx+p/2|+|Nx+p/2|=Mx+Nx+p=2(4-p/2)+p=8=定值。证毕。

2、解:设:x=my+b...(1),点M、和N的横作别分别为Mx和Nx; 因为点A的中点横坐标为4-2p/2=(8-p)/2=(Nx+Mx)/2(中点坐标公式);即有:Mx+Nx=8-2/2=7;因为,Nx>=Mx>=0, Mxmin=0; Mxmax=Nx=7/2;当Mx=Nx=7/2;对于x=my+b, y^2=4(my+b); y^2-4my-b=(y-2m)^2-4m^2-b=0; b+4m^2=0;b=-4m^2, y=2m; 代入(1); x=m(2m)+b=2m^2+b=-2m^2=b/2=7/2; 与b<0矛盾；m不存在;因此，令：x=b；y^2=4b,y=+/-2√b; x=b=7/2;

由（1）得：y=0时,x=-b,将x=my-b...(2);将Mx=7/2，代入抛物线方程：y^2=4x=4*(7/2)=14; y=√14(负值舍去); 由式(2),得：7/2=m√14-b; m=(7+2b)/2√14; x=(7+2b)y/2√14-b...(3);代入抛物线方程,得：y^2=4[(7+2b)y/2√14-b]；y^2-[2(7+2b)/√14]y+4b=0; 此时，直线与抛物线相切。△=[-2(7+2b)/√14]^2-4*4b=2(7+4b+4b^2/7)-16b=(8/7)b^2-8b+14=0;

△b=(-8)^2-4*8/7*14=64-64=0; b=8/(2*8/7)=7/2; 将b=7/2代入(3),得：x=√14y/2-7/2; 

b的取值范围：[-7/2,7/2]。

追问

翻了翻了，答案是-3到3，看一下行吗？

追答

要注意一点，中点坐标不在抛物线上，不适合抛物线的方程。我有可能有算错的地方，但是，7/2应该不会错的。

追问

给你看个正确的，不过不是用x=my+b做

追答

你题中的的限制条件是用x=my+b，做题，不用能对算对吗？

追问

。。。。。我只是为了给标准答案给你，限制条件是我自己加的，我这样设没做出来，不是题要求的 他的答案也不是写给我的

追答

1、证明：见下图，做直线L:x=-p/2;做MG//x轴，交L于G；做NH//x轴，交L于H；根据抛物线的定义：

|MF|+|NF|=|MG|+|NG|=|Mx-(-p/2)|+|Nx-(-p/2)|=|Mx+p/2|+|Nx+p/2|=Mx+Nx+p=2(4-p/2)+p=8=定值。证毕。

2、解:设:x=my+b...(1),点M、和N的横作别分别为Mx和Nx; 因为点A的中点横坐标为4-2p/2=(8-p)/2=(Nx+Mx)/2(中点坐标公式);即有:Mx+Nx=8-2/2=6;因为,Nx>=Mx>=0, Mxmin=0; Mxmax=Nx=6/2=3;对于x=my+b, y^2=4(my+b); y^2-4my-b=(y-2m)^2-4m^2-b=0; b+4m^2=0;b=-4m^2, y=2m; 代入(1); x=m(2m)+b=2m^2+b=-2m^2=b/2=-3; 

当m=0时，x=b,符合Mx+Nx=3; 即：x=3; b在区间[-3,3]，满足y^2=4x上的直线MN的直线x=my+b中b的取值范围（因来客人，耽误答题，致歉！）。

追问

这里是不是。。

追答

是的。如果没有限制条件可以不用这种方法，当x=3时，y=+/-2√3（负值舍去）；x‘=2√3/2=√3；直线的解析式为：x=√3y+b,当x=3时，3=√3*2√3+b,b=-3 和当Mx,Nx在曲线对称点时，x=b=Mx=3.这样做就简单了。

Answer 2

如图

追问

翻了翻了，答案是-3到3，改一下行吗？