Question

如何理解反证法？

Answer 1

反证法是逆向思维的典型方法，其独特的思维方式对提高数学思想有着重要的意义。

它不仅具有强大的论证威力，而且越是困难的问题它越有功效。

要想深刻理解反证法，就要深刻的领悟“正难则反”的思维原理。

一、反证法：

定义：通过证明反论题为假而间接证明原论题为真的方法，叫做反证法。

二、反证法证明步骤：

（1）反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，这个假设叫做“反证假设”；

（2）归谬：由反证假设出发，运用已知条件，进行正确推理，导致矛盾；

（3）肯定：由所得矛盾，断定反证假设不成立，从而肯定结论成立。

其中第（2）步是关键，主要寻找以下矛盾：

与反证假设相矛盾；

与已知条件相矛盾；

与已知事实、定义、公理、前此定理相矛盾；

自相矛盾。

三、反证法应用：

当用直接证法无法下手甚至不可能时，可使用反证法。

反证法更适用于：

否定性问题；唯一性问题；存在性问题；无限性问题；同一性问题（逆命题成立）；学科起始性定理；命题结论的反面中唯一，应用穷举反证法。

四、举例如下：

例题：设方程 x = asinx + b (0思路：由于结论为实根唯一，其反面为实根不唯一，反设明确，故用反证法来证明。证明：假设方程存在两个不相等的实根x1, x2,则有：X1= asinx1+ b , x2= asinx2+ b 。两式相减，得X1— x2= a(sinx1—sinx2)=2acos(x1+x2)sin(x1—x2)，因为 cos(x1+x2)1，sin(x1—x2) X1— x2，所以 X1— x2 a X1— x2，但 x1 x2，所以 a 1，这与0因此方程若有实根，则必唯一。