Question

求证标准正态分布函数Φ(-x)=1–Φ(x)

Answer 1

其详细过程可以是，∵X~N(0,1)，∴其密度函数f(x)=[1/√(2π)]e^(-x²/2)【设A=1/√(2π)】。

∴Φ(x)=∫(-∞,x)f(x)dx=A∫(-∞,x)e^(-x²/2)dx。∴Φ(-x)=A∫(-∞,-x)e^(-x²/2)dx。

对∫(-∞,-x)e^(-x²/2)dx。令x=-t，∴∫(-∞,-x)e^(-x²/2)dx=∫(t,∞)e^(-t²/2)dt=∫(x,∞)e^(-x²/2)dx，

∴Φ(x)+Φ(-x)=A[∫(-∞,x)e^(-x²/2)dx+∫(x,)e^(-x²/2)dx]=A[∫(-∞,∞)e^(-x²/2)dx=1。

∴ Φ(-x)=1-Φ(x)。

简介

标准正态分布（英语：standard normal distribution， 德语Standardnormalverteilung），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。

Answer 2

其详细过程可以是，∵X~N(0,1)，∴其密度函数f(x)=[1/√(2π)]e^(-x²/2)【设A=1/√(2π)】。
∴Φ(x)=∫(-∞,x)f(x)dx=A∫(-∞,x)e^(-x²/2)dx。∴Φ(-x)=A∫(-∞,-x)e^(-x²/2)dx。
对∫(-∞,-x)e^(-x²/2)dx。令x=-t，∴∫(-∞,-x)e^(-x²/2)dx=∫(t,∞)e^(-t²/2)dt=∫(x,∞)e^(-x²/2)dx，
∴Φ(x)+Φ(-x)=A[∫(-∞,x)e^(-x²/2)dx+∫(x,)e^(-x²/2)dx]=A[∫(-∞,∞)e^(-x²/2)dx=1。
∴ Φ(-x)=1-Φ(x)。
供参考。