Question

y=sinx+cosx+sinxcosx值域

Answer 1

y=sinx+cosx+sinxcosx
令sinx+cosx=T,(1)
由同角三角函数关系sinxcosx=[（sinx+cosx)^2-(sinx^2+cosx^2)]/2
把(1)式代入,得sinxcosx=（T^2-1)/2
所以y=T+（T^2-1)/2
整理得,y=1/2（T+1）^2-1
而sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
所以y在T[∈-√2,√2]时,不单调
当T=-1时,y取得最小值 = -1
当T=√2时,y取得最大值 = 1/2+√2
值域[-1,1/2+√2 ]

Answer 2

解:令t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
则有:2sinxcosx=(sinx+cosx)^2-1=t^2-1
sinxcosx=0.5(t^2-1)
则原函数变为:
y=f(t)=t+0.5(t^2-1)=0.5(t^2+2t-1)=0.5(t+1)^2-1,t∈[-√2,√2]
又因为该函数图像为开口向上的抛物线,且有-1∈[-√2,√2]
故有:
当t=-1时,即x=2kπ-π/2或x=2kπ-π(k∈Z)时原函数取到最小值-1
当t=√2时,即x=2kπ+π/4(k∈Z)时原函数取到最大值0.5+√2
故原函数值域为:[-1,0.5+√2]