Question

求解无穷区间的积分

求解无穷区间的积分如图所示，在线等。

Answer 1

解：(1)，∵f(x)=lim(t→x)[(x-1)/(t-1)]^[x/(t-x)]=e^{lim(t→x)xln[(x-1)/(t-1)]/(t-x)}，
而，lim(t→x)xln[(x-1)/(t-1)]/(t-x)属“0/0”型，用洛必达法则，∴f(x)=e^[-x/(x-1)]。
又，∵f(x)在x=1处，无定义，且lim(x→1-)f(x)→∞，∴f(x)有无穷间断点，即第二类间断点x=1。
(2)，∫(2,∞)f(x)dx/(x-1)²=∫(2,∞)e^[-x/(x-1)]d[-x/(x-1)]=e^[-x/(x-1)]丨(x=2,∞)=1/e-1/e²。
供参考。

Answer 2

f(x)=e^limln((x-1)/(t-1)) x/(t-x)
=e^lim((x-1)/(t-1)-1) x/(t-x)
=e^lim-x/(t-1)
=e^(x/(1-x))
=e^(1/(1-x))/e
广义积分=1/e∫e^(1/(1-x))d1/(1-x)=e^(1/(1-x))/e=0-e^(-1)/e=-1/e²

追问

应该不是0吧，1/e吧

追答

呃…是1/e，我看成e^-∞了