Question

根号(a^2+x^2)积分

令x = a * tanz,dx = a * sec²z dz
√(a² + x²) = a * secz
∫ √(a² + x²) dx = ∫ (a * secz)(a * sec²z) dz
= a²∫ sec³z dz = a² * K
K = ∫ sec³z dz = ∫ secz * sec²z = ∫ secz dtanz
= secz * tanz - ∫ tanz dsecz
= secz * tanz - ∫ tanz * (secz * tanz) dz
= secz * tanz - ∫ secz * tan²z dz
= secz * tanz - ∫ secz * (sec²z - 1) dz
= secz * tanz - K + ∫ secz dz
2K = secz * tanz + ∫ secz dz
K = 1/2 * secz * tanz + 1/2 * ln|secz + tanz|
原式= a²/2 * secz * tanz + a²/2 * ln|secz + tanz|
= (a²/2) * (x/a) * √(a² + x²)/a + (a²/2) * ln|(x/a) + √(a²+x²)/a| + C（疑问点）
= (x/2)√(a² + x²) + (a²/2)ln|x + √(x² + a²)| + C

ln|(x/a) + √(a²+x²)/a| 是怎么等于 ln|x + √(x² + a²)|的

Answer 1

设x=asint，则dx=dasint=acostdt，可以得到：

a^2-x^2

=a^2-a^2sint^2

=a^2cost^2

∫√（a^2-x^2）dx

=∫acost*acostdt

=a^2∫cost^2dt

=a^2∫（cos2t+1）/2dt

=a^2/4∫(cos2t+1)d2t

=a^2/4*(sin2t+2t)

将x=asint代回，得：

∫√（a^2-x^2）dx=x√(a^2-x^2)/2+a^2*arcsin(x/a)/2+C（C为常数）

扩展资料：

常用不定积分公式

1、∫kdx=kx+c

2、∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

3、∫1/√(1-x^2)dx=arcsinx+c

4、∫tanxdx=-In|cosx|+c

5、∫cotxdx=In|sinx|+c

6、∫secxdx=In|secx+tanx|+c

7、∫cscxdx=In|cscx-cotx|+c

8、∫1/√(x^2+a^2)dx=In(x+√(x^2+a^2))+c

Answer 2

因为ln里面的1/a是变成了-lna，而-lna是一个数，可以直接与c合并，所以最后的那个c其实是你原来的c-lna

Answer 3

ln|(x/a)+√(a²+x²)/a|+C1
=ln|[x+√(a²+x²)]/a|+C1
=ln|x+√(a²+x²)|-lna+C1
=ln|x+√(a²+x²)|+C (C=-lna+C1)