Question

数学求极限题目

第五题

Answer 1

1. 代入法, 分母极限不为零时使用.先考察分母的极限,分母极限是不为零的常数时即用此法. 【例1】lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1) lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1) =(3-3)/(9+3+1)=0 【例2】lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx =(lg1+e^0)/arccos0 =(0+1)/1 =1 2. 倒数法,分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时使用. 【例3】 lim[x-->1]x/(1-x) ∵lim[x-->1] (1-x)/x=0 ∴lim[x-->1] x/(1-x)= ∞ 以后凡遇分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时,可直接将其极限写作∞. 3. 消去零因子（分解因式）法,分母极限为零,分子极限也为零,且可分解因式时使用. 【例4】 lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x) lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x) =lim[x-->1](x-1)^2/[x(x^2-1) =lim[x-->1](x-1)/x =0 【例5】lim[x-->-2](x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6) lim[x-->-2] (x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6) = lim[x-->-2]x(x+1)(x+2)/[(x+2)(x-3)] = lim[x-->-2]x(x+1) / (x-3) =-2/5 【例6】lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4) lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4) = lim[x-->1](x-2)(x-4)/[(x-1)(x-4)] = lim[x-->1](x-2) /[(x-1) =∞ 【例7】lim[h-->0][(x+k)^3-x^3]/h lim[h-->0][(x+h)^3-x^3]/h = lim[h-->0][(x+h) –x][(x+h)^2+x(x+h)+h^2]/h = lim[h-->0] [(x+h)^2+x(x+h)+h^2] =2x^2 这实际上是为将来的求导数做准备. 4. 消去零因子（有理化）法,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,但可有理化时使用.可利用平方差、立方差、立方和进行有理化. 【例8】lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x = lim[x-->0][√1+x^2]-1] [√1+x^2]+1]/｛x[√1+x^2]+1]｝ = lim[x-->0][ 1+x^2-1] /｛x[√1+x^2]+1]｝ = lim[x-->0] x / [√1+x^2]+1] =0 【例9】lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3)) lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3)) =lim[x-->-8][√(1-x)-3] [√(1-x)+3] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)] ÷{(2+x^(1/3))[4-2x^(1/3)+x^(2/3)] [√(1-x)+3]} =lim[x-->-8](-x-8) [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/{(x+8)[√(1-x)+3]} =lim[x-->-8] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/[√(1-x)+3] =-2 5. 零因子替换法.利用第一个重要极限：lim[x-->0]sinx/x=1,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,不可有理化,但出现或可化为sinx/x时使用.常配合利用三角函数公式. 【例10】lim[x-->0]sinax/sinbx lim[x-->0]sinax/sinbx = lim[x-->0]sinax/(ax)*lim[x-->0]bx/sinbx*lim[x-->0]ax/(bx) =1*1*a/b=a/b 【例11】lim[x-->0]sinax/tanbx lim[x-->0]sinax/tanbx = lim[x-->0]sinax/ sinbx*lim[x-->0]cosbx =a/b 6. 无穷转换法,分母、分子出现无穷大时使用,常常借用无穷大和无穷小的性质. 【例12】lim[x-->∞]sinx/x ∵x-->∞ ∴1/x是无穷小量 ∵|sinx|∞]sinx/x=0 【例13】lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1) lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1) = lim[x-->∞](1 -1/x^2)/(2-1/x-1/ x^2) =1/2 【例14】lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1) lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1) =lim[n-->∞][n( n+1)/2]/(2n^2-n-1) =lim[n-->∞][ (1+1/n)/2]/(2-1/n-1/n^2) =1/4 【例15】lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50 lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50 = lim[x-->∞][(2x-3)/ (5x+1)]^20[(3x+2)/ (5x+1)]^30 = lim[x-->∞][(2-3/x)/ (5+1/ x)]^20[(3+2/ x)/ (5+1/ x)]^30 =(2/5)^20(3/5)^30=2^20*3^30/5^50

Answer 2

图片好像不完整吧。这个极限应该等于∞。由于分子是n的一次方，而分母是n的四分之三次方，所以当n趋向于无穷的时候，分子的变化比分母大，估计一下，它的渐近线应该是n的四分之一次方，所以应该等于∞。

Answer 3

分子与 n 同阶，分母与 n^(3/4) 同阶，
由于 1＞3/4，因此极限＝∞。

Answer 4

如图

Answer 5