Question

高等数学，一道微积分的几何应用题

看不懂划线部分

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Answer 1

绕 x＝3a 旋转，以 dy 为微元，
每一个截面都是圆环，中心是 x＝3a，
所求体积就是圆环面积的积分，
圆环的外半径 ＝3a - [a-√(a²-y²)]，
内半径＝3a-y。

Answer 2

Answer 3

图示红色区块绕轴线x=3a旋转一周所得旋转体的体积V：

取厚度为dy，外半径R₁=3a-[a-√(a-y)]=2a+√(a-y); 内半径R₂=3a-y的薄园片, 此薄

园片的面积ds=πR₁²-πR₂²=π[2a+√(a-y)]²-π(3a-y)²; 

其微体积dV=π[2a+√(a-y)]²-(3a-y)²]dy；

∴总体积V=π∫<0,a>[2a+√(a-y)]²-π(3a-y)²]dy；

Answer 4

对划线部分的解析：
用经过y轴上纵坐标为y(0<y<a)的点的平面去截题中的旋转体，易知所得截面为圆环形；
划线式子中的a-√(a²-y²)是由圆的方程(x-a)²+y²=a²解出的区域D的圆弧边上纵坐标为y的点的横坐标x的表达式(注意x-a≤0)，故3a-(a-√(a²-y²))表示该点到旋转轴x=3a的距离，亦即圆环形截面的外半径；
因区域D直边的方程为y=x，故划线式子中的3a-y表示直边上纵坐标为y的点到旋转轴x=3a的距离，亦即圆环形截面的内半径；
所以式子π[3a-(a-√(a²-y²))]²-π(3a-y)²表示圆环形截面的面积，再乘以dy即得体积微元dV(这里的dV可以近似理解成以圆环形截面为底，以dy为高的扁柱体的体积).