Question

线性代数 例5.30的答案中为什么要强调秩为1？

答案中为什么要强调秩为1？还有为什么矩阵B的特征值是n-1个？

Answer 1

知道B秩为1，才能知道B的所有0特征值的个数。
题目中根据方程|λE-B|=0,解出了B有两个特征值0和n，又因为B也是实对称矩阵，一定可以对角化，它和一个对角阵相似，和对角阵的秩相同，所以对角阵的对角线上非零元素个数就等于矩阵的秩。B的秩为1，那么对角阵也只有一个n(B的特征值)了，n阶矩阵一共有n个特征值，除去这一个非零的,其余还有n-1个0特征值。

追问

感谢您的回答。请问矩阵的秩与矩阵的特征值有什么关系呢？比如三阶矩阵秩为2的时候特征值怎么样，三阶矩阵秩为1的时候矩阵的特征值怎么样呢？谢谢回答

追答

n阶矩阵只要秩小于n，那么就一定有0特征值，至于有几个0特征值，还要看矩阵是否能对角化，如果可以对角化的话，三阶矩阵秩为2的话就有1个0特征值，秩为1就有2个0特征值。n阶可对角化的矩阵A，0特征值个数=n-r(A)