Question

设函数f(x)=1- e^-x,证明当x>-1时有f(x)≥x/x+1？

Answer 1

（1）当x＞-1时，f（x）≥xx+1当且仅当ex≥1+x
令g（x）=ex-x-1，则g'（x）=ex-1
当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数
当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（-∞，0]是减函数
于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即ex≥1+x
所以当x＞-1时，f（x）≥xx+1
（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0
当a＜0时，若x＞-1a，则xax+1＜0，f（x）≤xax+1不成立；
当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）-x，则
f（x）≤xax+1当且仅当h（x）≤0
h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）-1=af（x）-axf（x）+ax-f（x）
（i）当0≤a≤12时，由（1）知x≤（x+1）f（x）
h'（x）≤af（x）-axf（x）+a（x+1）f（x）-f（x）
=（2a-1）f（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤xax+1

Answer 2

挺简单的~