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错在“ln(1+x)~x”上。事实上，x→0时，ln(1+x)=x+O(x)=x-x²/2+O(x²)=x-x²/2+x³/3+O(x³)=…，∴x、x-x²/2、x-x²/2+x³/3、…，均为ln(1+x)的等价无穷小量。
取前几项即n=1,2或者3，…，视需“解决”问题的情况而定。一般地，出现最高幂次数为n，取前n+1项即可。
本题中，计算过程中出现了“x²”，取“ln(1+x)~x-x²/2+x³/3”即可。其过程是，(1+x)^(1/x)=e^[(1/x)ln(1+x)]~e^[(1/x)(x-x²/2+x³/3)]=e^(1-x/2+x²/3)，
∴原式=lim(x→0){[e^(1-x/2+x²/3)]/e}^(1/x)=lim(x→0)[e^(-x/2+x²/3)]^(1/x)=e^(-1/2)。
供参考。
取前几项即n=1,2或者3，…，视需“解决”问题的情况而定。一般地，出现最高幂次数为n，取前n+1项即可。
本题中，计算过程中出现了“x²”，取“ln(1+x)~x-x²/2+x³/3”即可。其过程是，(1+x)^(1/x)=e^[(1/x)ln(1+x)]~e^[(1/x)(x-x²/2+x³/3)]=e^(1-x/2+x²/3)，
∴原式=lim(x→0){[e^(1-x/2+x²/3)]/e}^(1/x)=lim(x→0)[e^(-x/2+x²/3)]^(1/x)=e^(-1/2)。
供参考。
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