Question

关于定积分的精确定义

求解答疑问

Answer 1

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.

我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个导函数的原函数。

Answer 2

定积分可以看做无数个微小的矩形面积相加而成，如果对积分区间做n等分，使n趋近于无穷就可近似的用矩形之和定义定积分…那么对与等分后的第i份，宽为(b–a)/i，长为当x=a+i(b–a)/n时的函数值。

设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，J∈R. 如果对任意ε>0，都存在δ>0，使得对[a,b]的任何分割
T：a=x0定积分，记作="" j="∫(a,b)" f(x)="" dx="" 其中，函数f(x)成为被积函数，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，a,b分别称为该定积分的积分下限以及积分上限="" 这个定义是riemann首先提出的，因此这种定义下的定积分也称为riemann积分="" 这就是定积分的定义

Answer 3

定积分可以看做无数个微小的矩形面积相加而成，如果对积分区间做n等分，使n趋近于无穷就可近似的用矩形之和定义定积分…那么对与等分后的第i份，宽为(b–a)/i，长为当x=a+i(b–a)/n时的函数值