Question

求函数u=x^2+y^2+z^2在约束条件z=x^2+y^2和x+y+z=4下的最值，方程怎么解？总是不对

作拉格朗日函数F（x，y，z，λ，μ）=x2+y2+z2+λ（x2+y2-z）+μ（x+y+z-4）．
首先，求解其驻点．
令
F′x＝2x+2λx+μ＝0
F′y＝2y+2λy+μ＝0
F′z＝2z−λ+μ＝0
F′λ＝x2+y2−z＝0
F′μ＝x+y+z−4＝0
，
求解方程组可得，（x1，y1，z1）=（1，1，2），（x2，y2，z2）=（-2，-2，8）．
因为 u（x1，y1，z1）=6，u（x2，y2，z2）=72，
故所求的最大值为72，最小值为6．

这是解答过程，但是解方程我怎么消元算的λ=-1，u=0，z=-1/2，

Answer 1

简单计算一下即可，详情如图所示

Answer 2

本题除了可用高数方法(拉格朗日乘数法)，
还可用初等数学直接解决:

Answer 3

λ＝-1的情况不符合题意，因为y^2＋x^2不可能等于-1/2所以应该取x=y

Answer 4

答案和他一样我们得根据拉格朗日乘数定理，最后的两个未知量可以根据x，y，z反代回去，解出来