Question

证明数列an=sin（sin（...sinn））（n个sin）收敛并求其极限详细过程

Answer 1

具体回答如下：

根据正弦函数性质，可知|a(n)|≤1，数列有界。

因为：sinx≤x。

所以：a(n＋1)≤a(n)。

数列单调递减且有界，所以数列收敛。

设极限为a，将两边取极限：

得到：a＝sina。

所以：a＝0。

极限的性质：

和实数运算的相容性，譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

与子列的关系，数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

Answer 2

首先，由正弦函数性质，|a(n)|≤1，数列有界，
其次，由 sinx≤x，得 a(n＋1)≤a(n)，
因此数列单调递减且有界，所以数列收敛，
设极限为 a，则两边取极限得
a＝sina，所以 a＝0。

追问

有n个sin啊？

追答

是有 n 个啊，sina(n)＜a(n)，不就是 a(n＋1)＜a(n) 么？