Question

数列sin n是收敛还是发散的？

同上谢谢！
请证明~

Answer 1

数列sin n的图像是从-1-1间的，是收敛函数。

收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。

数学分析的基本概念之一，它与“有确定的(或有限的)极限”同义，“收敛于……”相当于说“极限是……(确定的点或有限的数)”。

在一些一般性叙述中，收敛和收敛性这两个词(在外语中通常是同一个词)有时泛指函数或数列是否有极限的性质，或者按哪一种意义(什么极限过程)有极限。

在这个意义下，数学分析中所讨论的收敛性的不同意义(不同类型的极限过程)大致有：对数列(点列)只讨论当其项序号趋于无穷的收敛性；对一元和多元函数最基本的有自变量趋于定值(定点)的和自变量趋于无穷的这两类收敛性；对多元函数还有沿特殊路径的和累次极限意义下的收敛性；对函数列(级数)有逐点收敛和一致收敛。

Answer 2

很显然，sinn是发散的，他是一个振荡数列，虽然有界
根据定理：单调有界数列必收敛，换句话说，非收敛数列必是非单调或者无界
证明：
令an=sinn,假设数列{an}是收敛数列，则该数列是单调和有界的
有界性：
考察y=sinx函数可知，|y|≤1，所以an必是有界
单调性：
考察y=sinx函数可知，在x∈R时，y=sinx非单调函数，所以，数列an非单调函数，这与假设矛盾
综合以上，数列sinn在n→ +∞时是非收敛数列

当n→0时其实根本不用证明，特殊极限已经说明了：x<sinx<tanx
根据夹逼准则：
当x→0时，limsinx=0

Answer 3

假设收敛，可以设a=limsinn，则limsin(n+2)=a。

而sin(n+2)-sinn=2cos(n+1)sin1，得lim2cos(n+1)sin1=a-a=0，则limcos(n+1)=0,limcosn=0。

则a=limsinn=lim√(1-cos^2 n)=1。
又 sin2n=2sinncosn，两边取极限，得a=2a×0，矛盾。
所以数列sin n是发散的。

Answer 4

n趋于无穷大是发散，趋于无穷小是收敛！