Question

已知F1,F2是椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左，右？

已知F1,F2是椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左，右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P，点P在过点A且斜率为根号3/6的直线上，三角形PF1F2为等腰三角形，角F1F2P=120度，则椭圆的离心率为

Answer 1

思路：①画草图，从题目中知道，椭圆C是焦点在x轴上的椭圆，②由△PF1F2为等腰三角形和角F1F2P=120º可知F2为顶点，从而得到F1F2=PF2=2c，③设P(xo，yo)，过P作PM⊥x轴于M，∠PF2M=60º，∠F2PM=30º，F2M：PM：PF2=1：√3：2，从而可算出F2M和PM的长度，进而可表示出直线PA的斜率为含e的分式方程，解这个方程就得到e的值。

Answer 2

根据题意，F1(-c,0)，F2(c,0)，A(-a,0)
直线PA：y=(√3/6)*(x+a)
直线PF2：y=cos60°*(x-c)=(1/2)*(x-c)
两式联立，(√3/6)*(x+a)=(1/2)*(x-c)
√3x+√3a=3x-3c
x+a=√3x-√3c
(√3-1)x=a+√3c
x=(a+√3c)/(√3-1)=(1/2)*(√3a+3c+a+√3c)
y=(1/2)*(x-c)=(1/4)*(√3a+c+a+√3c)
所以点P((1/2)*(√3a+3c+a+√3c),(1/4)*(√3a+c+a+√3c))
因为|F1F2|=|PF2|=2c，所以
[(1/2)*(√3a+3c+a+√3c)-c]^2+[(1/4)*(√3a+c+a+√3c)]^2=4c^2
(5/16)*(√3a+c+a+√3c)^2=4c^2
[√5*(√3a+c+a+√3c)+8c][√5*(√3a+c+a+√3c)-8c]=0
[(√15+√5)a+(√15+√5+8)c][(√15+√5)a+(√15+√5-8)c]=0
因为(√15+√5)a+(√15+√5+8)c恒>0
所以(√15+√5)a=(8-√15-√5)c
离心率=c/a=(√15+√5)/(8-√15-√5)>1
所以椭圆不存在