Question

已知数列{an}的前n项和Sn=n(n+1)/2 (n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式 (2)设数列{bn}满足(2an-1)(2^(bn)-1)

Answer 1

(1)
an=Sn-S(n-1)n(n+1)/2-n(n-1)/2=n
(2n-1)(2^bn-1)=1
=>2^bn-1=1/(2n-1)
2^bn=2n/(2n-1)
bn=log(2)[1+1/(2n-1)]
Tn=log(2)[(1+1/1)(1+1/3)...(1+1/(2n-1)]
欲证2Tn>log2(2an+1)，只需证明
2log(2)[(1+1/1)(1+1/3)...(1+1/(2n-1)]>log(2)(2n+1)
<=>[(1+1/1)(1+1/3)...(1+1/(2n-1)]^2>2n+1
上式可以用数学归纳法证明。
n=1
(1+1)^2>2+1=3，显然成立。
假设n=n时成立。
[(1+1/1)(1+1/3)...(1+1/(2n-1)]^2>2n+1
当n=n+1时，
左边=[(1+1/1)(1+1/3)...(1+1/(2n-1)]^2[1+1/(2n+1)]^2>(2n+1)[1+1/(2n+1)]^2=(2n+2)^2/(2n+1)=2n+3+1/(2n+1)>2n+3
显然成立。
反推回去，本题得证。

Answer 2

1.an+1=an
-
1/n(n+1)
a(n)-a(n+1)=1/n-1/(n+1)
(a(n+1)-1/(n+1))/(a(n)-1/n)=1
数列{a(n)-1/n}是等比数列
当n=1时，a(1)-1/n=2-1=1
所以数列{a(n)-1/n}是常熟列1.
a(n)-1/n=1
a(n)=1+1/n
2.b(n)=n*(1+1/n)*2^n=(n+1)*2^n
b(n-1)=n*2^(n-1)
...
b(1)=2*2^1
s(n)=2*2^1+...+n*2^(n-1)+(n+1)*2^n
2s(n)=2*2^2+...+n*2^n+(n+1)*2^(n+1)
-s(n)=2*2^1+2^2+2^3+...+2^n-(n+1)*2^(n+1)
s(n)=(n+1)*2^(n+1)-2^(n+1)=n*2^(n+1)