Question

证明:对于任意整数n,数n/3+n^2/2+n^3/6是整数

Answer 1

n/3+n^2/2+n^3/6

=n（1/3+n/2+n^2/6)

=n（2+3n+n^2)/6

=n(n+1)(n+2)/6

所以n/3+n^2/2+n^3/6可以分解为以n开始的三个连续自然数的乘积除以6。

可以知道：

n、(n+1)、(n+2)中一定有一个是3的整倍数。

n、(n+1)、(n+2)中至少有一个是2的整倍数。

因此n(n+1)(n+2)能被6整除。

所以n(n+1)(n+2)/6是整数。

即：n/3+n^2/2+n^3/6是整数。

除法的法则：

积的变化规律：在乘法中，一个因数不变另一个因数扩大（或缩小）若干倍积也扩大（或缩小）相同的倍数。

1：一个因数扩大A倍，另一个因数扩大B倍，积扩大AB倍。

一个因数缩小A倍，另一个因数缩小B倍，积缩小AB倍。

商不变规律：在除法中，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。

2：被除数扩大（或缩小）A倍，除数不变，商也扩大（或缩小）A倍。

被除数不变，除数扩大（或缩小）A倍，商反而缩小（或扩大）A倍。

利用积的变化规律和商不变规律性质可以使一些计 算简便但在有余数的除法中要注意余数。

如： 8500+200=可以把被除数、除数同时缩小100倍来除，即85+2=，商不变，但此时的余数1是被缩小100被后的，所以还原成原来的余数应该是100。

Answer 2

n/3+n^2/2+n^3/6
=n（1/3+n/2+n^2/6)
=n（2+3n+n^2)/6
=n(n+1)(n+2)/6
所以n/3+n^2/2+n^3/6可以分解为以n开始的三个连续自然数的乘积除以6
可以知道：
n、(n+1)、(n+2)中一定有一个是3的整倍数
n、(n+1)、(n+2)中至少有一个是2的整倍数
因此n(n+1)(n+2)能被6整除。
所以n(n+1)(n+2)/6是整数
即：n/3+n^2/2+n^3/6是整数

Answer 3

3^(n+2)
-
2^(n+2)
+
3^n
-2^n
=9*3^n+3^n-4*2^n-2^n
=10*3^n-5*2^n
=10*3^n-10*2^(n-1)
=10*[3^n-2^(n-1)]
所以对于任意正整数n，3^(n+2)
-
2^(n+2)
+
3^n
-2^n能被10整除