Question

f(x)=1/(1+x+x^2)的100阶导数怎么求？

Answer 1

f(x)*(1+x+x^2)=1，用leibniz公式求n阶导得

f^n(x)*(1+x+x^2)+nf^(n－1)(x)*(1+2x)+n(n－1)f^(n－2)(x)=0，

令x＝0代入得

an+na(n－1)+n(n－1)a(n－2)=0，其中an=f^n(0)。

易知a0=1，a1=－1，可以用数学归纳法证明

a(3n)＝(3n)!，a(3n+1)＝－(3n+1)!，a(3n+2)=0。

导数

是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

Answer 2

f(x)*(1+x+x^2)=1，用leibniz公式求n阶导得
f^n(x)*(1+x+x^2)+nf^(n－1)(x)*(1+2x)+n(n－1)f^(n－2)(x)=0，
令x＝0代入得
an+na(n－1)+n(n－1)a(n－2)=0，其中an=f^n(0)。
易知a0=1，a1=－1，可以用数学归纳法证明
a(3n)＝(3n)!，a(3n+1)＝－(3n+1)!，a(3n+2)=0。