Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ），对任意的实数x均存在a使得f（a）≤f（x...

已知函数f（x）=sin（ωx+φ），对任意的实数x均存在a使得f（a）≤f（x）≤f（0）成立，且|a|的最小值为π2，则函数f（x）的单调递减区间为（　　） A. [kπ-π2，kπ]（k∈Z） B. [kπ，kπ+π2]（k∈Z） C. [2kπ-π2，2kπ]（k∈Z） D. [2kπ，2kπ+π2]（k∈Z）

Answer 1

解：∵对任意的实数x均存在f（a）≤f（x）≤f（0），
∴f（0）为函数的最大值，f（a）为函数最小值．
即f（0）=sinφ=1，即φ=π2+2kπ，k∈Z，
∴f（x）=sin（ωx+π2+2kπ）=cosωx，
∵f（a）为函数最小值．
∴f（a）=cos（aω）=-1，
∵|a|的最小值为π2，
∴|a|的最小值为T2，
即T2=π2，∴最小周期T=π，
此时T=2πω=π，
∴ω=2，
∴f（x）=cos2x，
由2kπ≤2x≤2kπ+π，（k∈Z），
得kπ≤x≤kπ+π2，（k∈Z），
即函数的单调递减区间为[kπ，kπ+π2]（k∈Z），
故选：B．