Question

((1+x)^(1/x))/e^(1/x)为什么不能等价无穷小

limx->0((1+x)^(1/x))/e)^(1/x) ,我还想知道为什么不可以用等价无穷小,即（1+x)^(1/x)等价于e

Answer 1

极限只能一起求，

不能固定其中一部分不变

而单独求另一部分

Answer 2

等价无穷小,也就是等价替换,只能用在因式当中,也就是你想替换的量必须是以因式的形式出现的,本题中(1+x)^(1/x)这个量对整个表达式而言不是因式形式的,也就是原表达式不是(1+x)^(1/x)与别的某个量的乘积,因此不能替换.正确做法：取对数,变形再用洛必达法则：＝lim [ln(1+x)^(1/x)－1]/x＝lim [ln(1+x)－x]/x^2=lim [1/(1+x)－1]/(2x)=lim [－x/(1+x)]/(2x)=－1/2,因此原极限是e^(-1/2).