Question

已知函数f（x）=13x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R），其图象在点...

已知函数f（x）=13x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0． （1）求a，b的值； （2）求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

解：（1）由题意，f′（x）=x2-2ax+a2-1．
又∵函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，
∴切线的斜率为-1，即 f′（1）=-1，∴a2-2a+1=0，
解得a=1．
又点（1，f（1））在直线x+y-3=0上，∴f（1）=2，
同时点（1，2）在y=f（x）上，∴2=
1
3
-a+（a2-1）+b，
即2=
1
3
-1+（1-1）+b解得b=
8
3
．
（2）f（x）=
1
3
x3-x2+
8
3
，∴f′（x）=x2-2x，
由f′（x）=0可知x=0，或x=2，所以有x、f′（x）、f（x）的变化情况表如下：
x
（-∞，0）
0
（0，2）
2
（2，+∞）
f′（x）
+
0
-
0
+
f（x）
递增
极大值
递减
极小值
递增
由上表可知，f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2，+∞），
单调递减区间是（0，2）；
∴函数f（x）的极大值是f（0）=
8
3
，极小值是f（2）=
4
3
．