Question

题目内容 3.如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是边长为2的正方形,△pab为等边三

如图 在四棱锥P—ABCD中 底面ABCD为正方形 △PAB为等边三角形 O为AB中点 且PO⊥AC. (1)求证:平面PAB⊥平面ABCD; (2)求PC与平面ABCD所成角的大小; (3)求二面角P-AC-B的大小.

Answer 1

解法一:(1)证明:∵△PAB为等边三角形 O为AB中点 ∴PO⊥AB. 又PO⊥AC 且AB∩AC=A ∴PO⊥平面ABCD. 又PO平面PAB ∴平面PAB⊥平面ABCD. (2)∵PO⊥平面ABCD 连结OC 则OC是PC在平面ABCD上的射影. ∴∠PCO为直线PC与平面ABCD所成的角. 设底面正方形边长为2 则PO= CO= ∴tan∠PCO= = . ∴PC与平面ABCD所成角的大小为arctan . (3)过O作OE⊥AC 垂足为E 连结PE. ∵PO⊥平面ABCD 由三垂线定理 可知PE⊥AC. ∴∠PEO为二面角P-AC-B的平面角. 设底面正方形边长为2 可求得OE= . 又PO=3 ∴tan∠PEO= = . ∴二面角PACB的大小为arctan . 解法二:(1)证明:同解法一. (2)建立如图的空间直角坐标系O—xyz 设底面正方形边长为2 则P(0 0 ) C(1 2 0). ∴ =(1 2 - ). 又 是平面ABCD的一个法向量 且 =(0 0 3). 设PC与平面ABCD所成的角为φ 则sinφ=|cos〈 〉|= . ∴PC与平面ABCD所成角的大小为arcsin . (3)设 n =(x y z)为平面PAC的一个法向量 则 n ⊥ n ⊥ .由A(-1 0 0) P(0 0 ) C(1 2 0) 可得 =(-1 0 - ) =(1 2 - ) ∴ 令z=1 则x=- y= 得 n =(- 3 1). 又 是平面ABC的一个法向量 设二面角PACB的大小为θ 则cosθ=cos〈 n 〉= . ∴二面角PACB的大小为arccos .

Answer 2

做出答案为√3-1的，这是个错误答案。错的原因是：将矩形ABCD理解成与半球面的地面平行了，其实这时求得的值不是最大的。最大的情况是：矩形ABCD与半球面的底面相交且交线为矩形一边，比如说矩形ABCD与半球面的底面的交线为AB时，此时线段AB在地面大圆所对的优弧的中点M到平面ABCD距离最大，此时距离为1+√6/2。解答过程实在不好打，方法对，答案对。还画了个图。一定要给我财富值哦。