Question

y=x/tanx的间断点并指出间断点的类型

如题

Answer 1

1、tanx = 0 的点是其间断点

∴ x=kπ 为 第二类无穷型间断点

2、x-> kπ+π/2 时,tanx -> ∞

∴ x=kπ+π/2 为 第一类可去间断点

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

（1）函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。

（2）函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。

（3）函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

Answer 2

对于x=kx,x=kx+2/π ,k∈Z
(1).对于x=kx;当k=0时，limx趋于0 x/tanx=1，故x=0为函数的第一类间断点且为可去间断点；当k≠0时，因为limx趋于kπ x/tanx=∞，故x=kπ (k≠0）=∞无穷间断点
（2）对于x=kπ+2/π ，因为limx趋于kπ+2/π x/tanx=0,故x=kπ +2/π 为函数的第一类间断点且为可去间断点

Answer 3

∵y=x/tanx

∴x=kπ,x=kπ+π/2
(K是整数)是它的间断点

∵f(0+0)=f(0-0)=1
(K=0时）

f(kπ+0)和f(kπ-0)都不存在
（k≠0时）

f(kπ+π/2+0)=f(kπ+π/2-0)=0

∴x=kπ
(是不为零的整数）是属于第二类间断点，

x=0和x=kπ+π/2
(K是整数)是属于可去间断点

补充定义：当x=0时，y=1.当x=kπ+π/2
(K是整数)时，y=0.

原函数在点x=0和x=kπ+π/2
(K是整数)就连续了。
首先，分母tanx在-π/2，π/2的两个个点的极限都不存在；其次，分母tanx（在x→0时）极限等于零，也不能由此说函数的极限就存在】
f(x)=x/tanx在(-π,π)范围内的间断点有三个：
①x=0，此时分母等于零；
②x=-π/2，此时分母没有定义；
③x=π/2，此时分母没有定义。
它们都是可去间断点，这是因为：
①x→0，f(x)→1；
②x→-π/2，f(x)→0；
③x→π/2，f(x)→0。