Question

在rtabc中,∠abc=90ac=bc点f为ac上一点,过点a作ab垂线交bf的延长线于e

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D为斜边AC延长线上一点，过D点作BC的垂线交其延长线于点E，在AB的延长线上取一点F，使得BF=CE，连接EF． （1）若AB=2，BF=3，求AD的长度； （2）G为AC中点，连接GF，求证：∠AFG+∠BEF=∠GFE．

Answer 1

考点： 全等三角形的判定与性质 等腰直角三角形 专题： 分析： （1）易证DE∥AB，可得△ABC∽△DEC，即可证明△CDE为等腰直角三角形，根据CE即可求得CD的长，根据AB可求得AC的长，根据AD=AC+CD即可解题；（2）连接EG、BG，易证BG=CG，∠ABG=∠ACB=45°，即可证明△GBF≌△GCE，可得GE=GF，∠BGF=∠CGE，∠AFG=∠BEG，即可证明△EFG为等腰直角三角形，可得∠GFE=∠GEF，根据∠GEF=∠BEG+∠BEF即可解题． （1）∵DE⊥BE，AB⊥BE，∴DE∥AB，∴△ABC∽△DEC，∴△CDE为等腰直角三角形，∵CE=BF=3，∴CD=32，∵AB=2，∴AC=22，∴AD=AC+CD=52；（2）连接EG、BG，证明△GBF≌△GCE．：∠AFG+∠BEF=∠GFE．∵G是等腰直角△ABC斜边AC中点，∴BG=CG，∠ABG=∠ACB=45°，∴∠GBF=∠GCE=135°，∵在△GBF和△GCE中，GB=GC∠GBF=∠GCEBF=CE，∴△GBF≌△GCE，（SAS）∴GE=GF，∠BGF=∠CGE，∠AFG=∠BEG，∵∠BGF+∠FGC=90°，∴∠CGE+∠FGC=90°，即∠EGF=90°，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠GFE=∠GEF=45°，∵∠GEF=∠BEG+∠BEF，∴∠GEF=∠AFG+∠BEF，∴∠AFG+∠BEF=∠GFE． 点评： 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△GBF≌△GCE是解题的关键．