Question

求“∑1/(x^n)（n=1→∞）=1/(x-1)”的证明

求下图算式的证明

Answer 1

计算一下即可求出结果。

Answer 2

原式=∑(1/x)^n。是首项为a1=1/x、公比q=1/x的等比数列。且x是大于1的正整数，∴满足丨q丨=1/x<1 的收敛条件。
∴由等比数列的求和公式，原式=(a1)/(1-q)=(1/x)/(1-1/x)=1/(x-1)。

Answer 3

这个太明显了，不需要证明。
∑1/xⁿ是以1/x为首项，1/x为公比的等比数列。
可知前n项和为：
(1/x-1/xⁿ)/(1-1/x)
而1/x<1,则1/xⁿ趋向0,
所以，原和为：1/x /(1-1/x) =1/(x-1)

Answer 4

f(x) =1/(1-x) =>f(0)=1
f'(x) =1/(1-x)^2 =>f'(0)/1! =1
f^(n)(x) =n!/(1-x)^(n+1) => f^(n)(0)/n! =1
由泰勒公式
f(x) =f(0) +[f'(0)/1!]x +[f''(0)/2!]x^2+...+[f^(n)(0)/2!]x^n +...
1/(1-x) = 1+x+x^2+....
1/(1-x) =lim(n->无穷) ∑(i:0->n) x^i