Question

不定积分！

第一步的分子为啥变成了e^-x

Answer 1

1.对于这道不定积分，求不定积分的过程见上图。

2.这不定积分，第一步是分子分母同乘以e∧-x，不过你图中印刷有错误。分母写的不对。

3、不定积分的你图中第二步，也有错，漏了一个负号。

4、这不定积分最后的结果是对的。

Answer 2

它是分子、分母同除以 e^x 后得到的结果！
不过，这道题如果分子、分母同乘以 e^x，又可以得到：
=∫e^x * dx/[(e^x)² + 1]
=∫d(e^x)/[(e^x)² + 1]
=arctan(e^x) + C'

不用担心，这两个答案都是正确的。那是因为：
arctan[e^(-x)]
=arctan(1/e^x)
=arcctg(e^x)
在 arctanx 的定义域内，有：
arctanx + arcctgx = arctanx + arctan(1/x) = π/2
即 -arctan(1/x) = arctanx - π/2
所以，截图中的积分结果：
-arctan[e^(-x)] + C
= arctan(e^x) - π/2 + C
= arctan(e^x) + C' 注：C' = C - π/2

Answer 3

第一步求解过程中略有误，根据第二步的结果可知其第一步是在原来式子的基础上分子上下同时乘以e^(-x),题目所给答案的分母少乘了e^(-x)。

Answer 4

此题第一步求解过程中略有疏漏，根据第二步的结果可知其第一步是在原来式子的基础上分子上下同时乘以e^(-x),题目所给答案的分母少乘了e^(-x)。

Answer 5

let
e^x = tanu
e^x dx =(secu)^2 du
∫ dx/[e^x +e^(-x) ]
=∫ dx/[e^x +1/e^x ]
=∫ e^x/[e^(2x) +1 ] dx
=∫ du
=u + C
=arctan(e^x) + C