Question

一个关于极限的基础问题！求解

在《高等数学》极限运算法则一章，定理8（复合函数极限运算法则）如下：为什么需要红色的这个条件强制规定g(x)不等于u0？即使在x0的去心δ邻域内g(x)=u0，lim(x->x0)f[g(x)] = A也成立啊。这个定理也同样成立。[]

Answer 1

这个条件是要加的，否则结论不成立。例如f(u)是如下分段函数：u=0是值为1，其他情形为0。而u=g（x）为如下函数，x为有理数时值为0，无理数时为x。验算就可以发现，lim（u->0)f(u)=1,lim(x->0)g(x)=0,但是lim(x->0)f(g(x))这个极限并不存在，这是因为f(g(x))是如下函数，当x是有理数时值为1，而x是无理数时值为0。

Answer 2

这个条件是要加的，否则结论不成立。例如f(u)是如下
分段函数
：u=0是值为1，其他情形为0。而u=g（x）为如下函数，x为
有理数
时值为0，
无理数
时为x。验算就可以发现，lim（u->0)f(u)=1,lim(x->0)g(x)=0,但是lim(x->0)f(g(x))这个极限并不存在，这是因为f(g(x))是如下函数，当x是有理数时值为1，而x是无理数时值为0。