Question

高等数学这题怎么做？

如图

Answer 1

该函数在点 (0,0) 处是间断的。
首先，我们来看分母 r^2 - 2x 在点 (0, 0) 的取值。显然，在以原点为中心的任意圆盘内，r^2 的取值都不小于 0；而当 x = 0 时，r^2 - 2x 取值最小为 0，因此该分母在点 (0, 0) 处取值为 0。
然后，我们来比较在点 (0, 0) 的左右两侧，函数 z 的极限是否相等。在点 (0, 0) 的左侧，可以将分母视作 (-r^2 + 2x)，则有：
lim(x,y)->(0,0-) z = lim(x,y)->(0,0-) (2x / (-r^2 + 2x)) = -1
在点 (0, 0) 的右侧，可以将分母视作 (r^2 - 2x)，则有：
lim(x,y)->(0,0+) z = lim(x,y)->(0,0+) (2x / (r^2 - 2x)) = 1
由于左右两侧的极限不相等，因此该函数在点 (0, 0) 处是间断的。
首先，我们需要判断函数在曲线 y^2 = 2x ≠ 0 上是否存在定义。因为在该曲线上分母 y^2 - 2x = 0，所以需要判断分子 y^2 + 2x 是否也等于 0。
将 y^2 + 2x = 0 带入原函数 z，可以得到：
z = (y^2 + 2x) / (y^2 - 2x) = 0 / (y^2 - 2x) = 0
因此，当 y^2 = 2x ≠ 0 时，原函数可以继续定义并取值为 0。
接下来，我们需要判断原函数在曲线 y^2 = 2x ≠ 0 上是否连续。根据题意，曲线 y^2 = 2x 可以看作是由两条直线 y = ±√(2x) 组成，在该曲线上的点都处于这两条直线上。
因此，对于该曲线上的任意一个点 (x0, ±√(2x0))，我们需要判断在该点处函数的左极限和右极限是否相等。在该曲线的范围内，分母 y^2 - 2x0 的符号始终为正数，因此可以得到：
lim(x,y)->(x0,√(2x0)-) z = (2x0 - ε) / ε，其中 ε > 0
lim(x,y)->(x0,√(2x0)+) z = (2x0 + ε) / ε，其中 ε > 0
可以发现，在点 (x0, ±√(2x0)) 处，左右两侧函数的极限不相等，因此该函数在曲线 y^2 = 2x ≠ 0 上是间断的。

Answer 2

z=(y^2+2x)/(y^2-2x)=1+4x/(y^2-2x)在曲线y^2=2x≠0上是间断的。

追问

答案是这样说的，为什么会说聚点

追答

看不清您的追问。

Answer 3

在该函数在抛物面y²=2x上是间断的