Question

an不收敛于a的定义

Answer 1

有两个子列分别收敛于不同的值，则数列发散。

比如，an=(-1)^n

奇数项构成的子列收敛到－1，偶数项构成的子列收敛到1，故｛an}发散。

跟柯西有关的那个应该是这样：

存在一个e0>0,对于所有的N,都存在n,m>N,使得｜An-Am|>=e0。

则｛An}发散。

这是柯西的逆否形式。

也有这样表述的，定义的逆否形式。

存在一个e0>0,对于所有的N,都存在n0>N,使得｜An0-a|>=e0。

则｛An}发散。

数列收敛是设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a）。

如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。