空间解析几何

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大沈他次苹0B
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空间几何的代数表示

二维平面几何,可通过建立直角坐标系进行代数表示,二维平面上的点可由二维数组(a,b)表示,二维平面上的直线可由二元一次方程表示。两条直线相交,二元一次方程组有一个解;直线平行,则无解;重叠则有无穷解。

三维空间几何,就可以建立三维坐标系进行代数表示,三维空间上的点可由三维数组(a,b,c)表示,三维空间上的平面可由三元一次方程表示。方程组的解,则表示平面的位置关系。以此类推,n维向量空间(线性空间)几何也可以建立n维空间坐标系,通过n元一次方程组进行求解。

由此可见,二维平面和三维空间只是n维向量空间的特例。在二维平面上,为了方便,可以通过两个不共线的仿射坐标系进行向量代数;三维可以通过三个不共面的向量进行代数;n维向量空间就可以建立线性无关的仿射坐标系进行表示了。

在二维空间中圆锥曲线为二元二次曲线。一般包括椭圆、双曲线、抛物线等。二元二次曲线的一般式可通过坐标变换(旋转消除交叉项,平移消除一次项),转换到标准式。在n维向量空间中,n元二次齐次多项式又称为二次型,可通过线性变换转化为标准二次型。

线性代数中,矩阵和行列式为重要的工具,一般增广矩阵(未知量系数和常数项组合成的矩阵)初等行变换的解为对应的几何关系。简单矩阵的相似可得到合适的坐标系,通过线性变换进行求解,从而得到几何关系,二次型对应对称矩阵。
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