Question

反常积分计算

Answer 1

求反常积分可以用一些方法。

如果所求函数有多个瑕点，瑕点区间上一点，当趋于这一点时使得函数无界，或者是积分上下限有∞。也就是积分区间是是无穷的。∞也是瑕点

有多个瑕点求积分。

1.确定瑕点

2.分成多个积分的和

3.讨论

如果有任意一个积分是发散的话，积分的和就不存在，整个积分是发散的。

必须要分段的各个积分全都收敛，整个积分才收敛

反常积分的求法

可以用比较判别法，极限比较判别法，或者P判别法

思想就是趋势近似替代，在两函数某邻域二者走势接近，这个时候就可以互相替换，二者收敛与否表现一致。

有个例子

这道题怎么求？因为在x趋于无穷的时候，多项式的变化趋势与最高次项关系最大，其余的都可以忽略，比如 ~ 。意思是当x趋于无穷的时候，决定函数走势的只有最高次项。这让我想到了算法时间复杂度，什么大O记法，说的也是这个忽略次项，只保留最高项。

怎么求呢？上面分子可以近似看成3x^5,下面可以近似的看成2x^6.5。

所以这两个比一下，得到了1.5*x^1.5

这个时候用上了P判别法。当瑕点在无穷的时候，且另一个积分限大于零，如图：2>0。这个时候如果

p>1那么这个反常积分收敛，那么我求的原来的积分也是收敛。

P判别法是什么？

如果前三行一个关于p的式子，如果积分上下限有无穷瑕点，前两行已经说了。如果积分上下限没有无穷瑕点，而是趋于0有个瑕点，这个时候当p<1的时候收敛，>=1就发散。

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索