对直角三角形和勾股定理的探究
展开全部
在我们所学习过的几何图形当中，三角形属于比较特殊的一类。而三角形同时还分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。其中直角三角形我们虽然已经有过了最基本的探索已经知道了他的特殊之处以及面积的求法，但是直角三角形却具有更多的需要探究的规律。
让我们让我们先思考直角三角形的特点，无非就在于其中一个角是90度。那我们就只根据这一个特点，能够得到什么样的猜想，或者是会有什么新的启发与思路呢？如果你想到的是直角三角形中的两个锐角一定互余或者是SSA对于直角三角形的全等证明是有效的，那么你也是对的.但是咱们今天的核心主题并不是这个。以上的这两个结论，我们或者是与以前的探究有关联，或者是已经进行过一定的讨论，所以就无需细讲。而现在的重点是，除了已经提到的这些特点，直角三角形，还有什么我们没有发现的规律吗？
回想一下，我们上面一直把重点放在了直角三角形中的那个90度角身上，因为确实这是直角三角形最大的特点。但是如果我们不再专注于直角三角形中的直角，而是去研究直角三角形的边的特性呢？会不会有什么是我们之前所没有发现的呢？
所以我们现在就要围绕着直角三角形的三条边来展开一些研究。可是当你随手画出一个直角三角形的时候，即使测量出它的三条边的长度，好像把这些数据对比起来也并没有什么特殊之处，这时候你即使再去画很多个不一样的直角三角形，你也都发现不了他们的这三条边之间有什么特殊的联系。为了能够找出这三条边之间的联系，我们就需要画出大量的直角三角形来进行一些实验，但是在白纸上画出来的再用尺子测量一定会产生人工误差，也就是导致结果有可能不够准确。那，我们该如何避免这种人工误差呢？我当时就想到，肯定需要用一个固定的计量单位来计算三角形三条边的长度，如何让单位都是一样的呢？最方便的办法是什么？然后就想到了格子图。就以一格为单位，这样的直角三角形出来一定不会有任何的人工误差了。
可是这样画出来一个三角形好像还是没有思路，那么我们就尝试在他的旁边加上一些图形来试试看吧。那么这个时候当我们画出了这样的一张图又会得到什么样的猜想呢？我当时在看到这张图的时候就做出了一个设想，我觉得下面的那两个以直角三角形的直角边为边长的小正方形的面积之和有可能等于以斜边为宽的四边形的面积。那么既然现在没有思路，就试一下呗？于是，我首先算出那两个小正方形的面积。如果按照方格纸上一格为一个单位的方法计算的话，分别是3²和3²。那么那个大的四边形又要怎么计算呢？它的旁边并没有格子，也没有办法数啊？难道需要将格子拆开一个个去拼吗？于是我开始思考更加简单的方法，然后突然想到了将这个大的四边形切成不同的几块，看看能不能将它的面积算出来。首先想到的方法就是切割成两个大小完全相等的等腰三角形。
如上图，将那个大的四边形切成两个相等的三角形，然后再通过计算三角形的底和高，就能够算出这个四边形的面积了。因为中间那个三角形的格子数目是可以数出来的。所以这样我们就得到了这个正方形的面积，应该是6×3也就是18。而下面的两个小的正方形的面积分别是3×3+3×3也就是9+9。唉，突然发现了什么？这两个小正方形的面积相加，就等于这一个大正方形的面积？或者说用另一种说法，直角三角形的两条直角边的平方相加就等于斜边的平方？在这里大概我们就能够意识到，这可能就是一个全新的发现，关于直角三角形的三条边的新规律。可是我们现在只是单纯地发现了这一个特例，是否能够就将这确定为一个定理，或者说就能够得出了一个确切的结论，保证它具有普遍性吗？明显是不能的，这有可能只是一个特例，因为我们是以具体的数字来计算的，并不具有普遍性，也不足以成为一个定理。因为我们接下来要做的就是通过具有普遍性的方法来验证我们的这个猜想是否是正确的。
那我们该如何来验证呢？是在纸上画上很多个直角三角形然后去计算吗？肯定是不行的，因为只要这三条边的长度足以让这个三角形构成一个直角三角形，那么这三条边就有可能是任何数字，试的话肯定是永远也试不完的，我们需要用一种最具有普遍性的方法，也就是能够代表所有数字的方法。而这个时候最好的方法莫过于用代数式与字母来表达。那么也就是说我们的猜想再次用字母就可以表示为a²＋b²＝c²。那么我们是否有办法验证这个等式呢？
那么我们现在再来看这幅图。我们现在需要证明的式子是a²＋b²＝c²。首先图中的这个最大的正方形ABCD用什么方式来表示呢？我们一直这个正方形的边长其实也就是a＋b，所以这个正方形的面积自然也就是（a＋b）²。而其中的这个边长为C的正方形又该如何表示呢？其实有两种表达方式。一种当然就是c²，而另外一种方式也就是通过这个大正方形ABCD来求出中间的这个长方形也就是式子中的c²。因为我们可以知道图中的大正方形中的那4个三角形其实都是相等的，因为它们的两条直角边长度相等以及都是直角三角形。所以他们的面积我们也就可以表示为 a×b×2也就是4个这样的三角形，那么得出来就是2ab。这个时候我们可以发现什么？中间的那个小正方形c²＝（a＋b）²－2ab＝a²＋b²＋2ab－2ab＝a²＋b²。所以最终化到最简的结果是什么？a²＋b²＝c²。于是，我们就成功的用字母和代数式证明了这个猜想的正确性。
而这个时候也该揭晓答案了，其实这个猜想就是著名的勾股定理，其公式就是三角形的两条直角边平方之和等于三角形中斜边的平方，也就是我们最终得出来的这个结论：a²＋b²＝c²。
所以你现在知道该如何通过推理得到勾股定理了吗？
让我们让我们先思考直角三角形的特点，无非就在于其中一个角是90度。那我们就只根据这一个特点，能够得到什么样的猜想，或者是会有什么新的启发与思路呢？如果你想到的是直角三角形中的两个锐角一定互余或者是SSA对于直角三角形的全等证明是有效的，那么你也是对的.但是咱们今天的核心主题并不是这个。以上的这两个结论，我们或者是与以前的探究有关联，或者是已经进行过一定的讨论，所以就无需细讲。而现在的重点是，除了已经提到的这些特点，直角三角形，还有什么我们没有发现的规律吗？
回想一下，我们上面一直把重点放在了直角三角形中的那个90度角身上，因为确实这是直角三角形最大的特点。但是如果我们不再专注于直角三角形中的直角，而是去研究直角三角形的边的特性呢？会不会有什么是我们之前所没有发现的呢？
所以我们现在就要围绕着直角三角形的三条边来展开一些研究。可是当你随手画出一个直角三角形的时候，即使测量出它的三条边的长度，好像把这些数据对比起来也并没有什么特殊之处，这时候你即使再去画很多个不一样的直角三角形，你也都发现不了他们的这三条边之间有什么特殊的联系。为了能够找出这三条边之间的联系，我们就需要画出大量的直角三角形来进行一些实验，但是在白纸上画出来的再用尺子测量一定会产生人工误差，也就是导致结果有可能不够准确。那，我们该如何避免这种人工误差呢？我当时就想到，肯定需要用一个固定的计量单位来计算三角形三条边的长度，如何让单位都是一样的呢？最方便的办法是什么？然后就想到了格子图。就以一格为单位，这样的直角三角形出来一定不会有任何的人工误差了。
可是这样画出来一个三角形好像还是没有思路，那么我们就尝试在他的旁边加上一些图形来试试看吧。那么这个时候当我们画出了这样的一张图又会得到什么样的猜想呢？我当时在看到这张图的时候就做出了一个设想，我觉得下面的那两个以直角三角形的直角边为边长的小正方形的面积之和有可能等于以斜边为宽的四边形的面积。那么既然现在没有思路，就试一下呗？于是，我首先算出那两个小正方形的面积。如果按照方格纸上一格为一个单位的方法计算的话，分别是3²和3²。那么那个大的四边形又要怎么计算呢？它的旁边并没有格子，也没有办法数啊？难道需要将格子拆开一个个去拼吗？于是我开始思考更加简单的方法，然后突然想到了将这个大的四边形切成不同的几块，看看能不能将它的面积算出来。首先想到的方法就是切割成两个大小完全相等的等腰三角形。
如上图，将那个大的四边形切成两个相等的三角形，然后再通过计算三角形的底和高，就能够算出这个四边形的面积了。因为中间那个三角形的格子数目是可以数出来的。所以这样我们就得到了这个正方形的面积，应该是6×3也就是18。而下面的两个小的正方形的面积分别是3×3+3×3也就是9+9。唉，突然发现了什么？这两个小正方形的面积相加，就等于这一个大正方形的面积？或者说用另一种说法，直角三角形的两条直角边的平方相加就等于斜边的平方？在这里大概我们就能够意识到，这可能就是一个全新的发现，关于直角三角形的三条边的新规律。可是我们现在只是单纯地发现了这一个特例，是否能够就将这确定为一个定理，或者说就能够得出了一个确切的结论，保证它具有普遍性吗？明显是不能的，这有可能只是一个特例，因为我们是以具体的数字来计算的，并不具有普遍性，也不足以成为一个定理。因为我们接下来要做的就是通过具有普遍性的方法来验证我们的这个猜想是否是正确的。
那我们该如何来验证呢？是在纸上画上很多个直角三角形然后去计算吗？肯定是不行的，因为只要这三条边的长度足以让这个三角形构成一个直角三角形，那么这三条边就有可能是任何数字，试的话肯定是永远也试不完的，我们需要用一种最具有普遍性的方法，也就是能够代表所有数字的方法。而这个时候最好的方法莫过于用代数式与字母来表达。那么也就是说我们的猜想再次用字母就可以表示为a²＋b²＝c²。那么我们是否有办法验证这个等式呢？
那么我们现在再来看这幅图。我们现在需要证明的式子是a²＋b²＝c²。首先图中的这个最大的正方形ABCD用什么方式来表示呢？我们一直这个正方形的边长其实也就是a＋b，所以这个正方形的面积自然也就是（a＋b）²。而其中的这个边长为C的正方形又该如何表示呢？其实有两种表达方式。一种当然就是c²，而另外一种方式也就是通过这个大正方形ABCD来求出中间的这个长方形也就是式子中的c²。因为我们可以知道图中的大正方形中的那4个三角形其实都是相等的，因为它们的两条直角边长度相等以及都是直角三角形。所以他们的面积我们也就可以表示为 a×b×2也就是4个这样的三角形，那么得出来就是2ab。这个时候我们可以发现什么？中间的那个小正方形c²＝（a＋b）²－2ab＝a²＋b²＋2ab－2ab＝a²＋b²。所以最终化到最简的结果是什么？a²＋b²＝c²。于是，我们就成功的用字母和代数式证明了这个猜想的正确性。
而这个时候也该揭晓答案了，其实这个猜想就是著名的勾股定理，其公式就是三角形的两条直角边平方之和等于三角形中斜边的平方，也就是我们最终得出来的这个结论：a²＋b²＝c²。
所以你现在知道该如何通过推理得到勾股定理了吗？
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
