Question

考研高数2 求助

设f(x)在[0,1]连续，非负f(0)=f(1)=0,求证：ξ∈[0,1],使f(ξ+L)=f(ξ).其中0<l<1.

令F（x）=f(x+L)-f(x)
∵F(0)=f(L)-f(0) ≥0，F(1-L)=f(1)-f(1-L) ≤ 0(问题：根据零点定理， f(a)f(b)>0 ,如何把上面的≥，≤中的等号去除。说明下原因谢谢。)
∴F(ξ)=0,即f(ξ+L)=f(ξ).
谢谢你啊！~主要是零点定理不是严格f(a)>0,f(b)<0,才能得出结论吗？如果不除去的话，F(a),F(b)都有几率为零的话，F(a)=0，F(b)=0，就不满足零点定理了吧。

Answer 1

零点定理严格f(a)>0,f(b)<0,才能得出结论
这里要分情况讨论的，
F(0)=f(L)-f(0) ≥0
若F(0)=f(L)-f(0)=0，则当ξ=0时有f(ξ+L)=f(ξ)
F(1-L)=f(1)-f(1-L)≤ 0
若F(1-L)=f(1)-f(1-L)=0，则当ξ=1-L时有f(ξ+L)=f(ξ)
否则F(0)=f(L)-f(0)>0,F(1-L)=f(1)-f(1-L)< 0
由零点定理就得到结论。

Answer 2

是这样的。我之前给你的解答可能只点了思路没有具体说明。
你为了运用零点定理就要排除其他的不满足的情况喽，分情况把不满足的另外讨论，满足的不就是<和>么，那么=的事情就放其他情况讨论喽。3种情况讨论的结果都满足结论，综上所述就能完整的证明这道问题了。
考研一般不会太简单，但是难也不会太难，就放在细节上，你多体会体会，其他的题也会有启发的。中值定理的确有很多约束条件，但是一定发现某个定理可以解决问题，那其他的都是小问题，这面不就是一种解决方法吗，多想想就行了。想全面点。