如何证明b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n>=1/a+1/b,其中a,b大于零
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b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n-(1/a+1/b)
=[b^(2n-1)+a^(2n-1)-a^(n-1)b^n-b^(n-1)a^n]/(a^nb^n)
=[(a^n-b^n)a^(n-1)+(b^n-a^n)b^(n-1)]/(a^nb^n)
=(a^n-b^n)(a^(n-1)-b^(n-1))/(a^nb^n)
a,b大于零,a^nb^n>0
若a>b>0
a^n-b^n>0,a^(n-1)-b^(n-1))>0
(a^n-b^n)(a^(n-1)-b^(n-1))/(a^nb^n)>0
若b>a>0
a^n-b^n0
(a^n-b^n)(a^(n-1)-b^(n-1))/(a^nb^n)=0
所以(a^n-b^n)(a^(n-1)-b^(n-1))/(a^nb^n)>=0
b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n>=1/a+1/b
=[b^(2n-1)+a^(2n-1)-a^(n-1)b^n-b^(n-1)a^n]/(a^nb^n)
=[(a^n-b^n)a^(n-1)+(b^n-a^n)b^(n-1)]/(a^nb^n)
=(a^n-b^n)(a^(n-1)-b^(n-1))/(a^nb^n)
a,b大于零,a^nb^n>0
若a>b>0
a^n-b^n>0,a^(n-1)-b^(n-1))>0
(a^n-b^n)(a^(n-1)-b^(n-1))/(a^nb^n)>0
若b>a>0
a^n-b^n0
(a^n-b^n)(a^(n-1)-b^(n-1))/(a^nb^n)=0
所以(a^n-b^n)(a^(n-1)-b^(n-1))/(a^nb^n)>=0
b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n>=1/a+1/b
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