拉格朗日中值定理的表述形式是怎样的?

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2022-12-11 · TA获得超过46.7万个赞
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定理表述

如果函数f(x)满足:

(1)在闭区间[a,b]上连续;

(2)在开区间(a,b)内可导;

那么在开区间(a,b)内至少有一点  使等式  成立。

其他形式:

记  ,令  ,则有

上式称为有限增量公式。 

我们知道函数的微分 

是函数的增量Δy的近似表达式,一般情况下只有当|Δx|很小的时候,dy和Δy之间的近似度才会提高;而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx(|Δx|不一定很小)时,函数增量Δy的准确表达式,这就是该公式的价值所在。

扩展资料:

意义

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心,其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广,它是微分学应用的桥梁,在理论和实际中具有极高的研究价值。

几何意义

若连续曲线  

在  

两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在1点 ,使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。

运动学意义

对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置(或一个时刻)的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。

拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明,并研究泰勒公式的余项。从柯西起,微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。

参考资料:百度百科----拉格朗日中值定理

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