Question

二重积分的奇偶性

Answer 1

二重积分对称性定理：积分区域D关于原点对称，f(x,y)同时为x,y的奇或偶函数，则：

∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=0（当f关于x,y的奇函数，即f(-x,-y)=-f(x,y)时）。

或∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在区域D*上积分，其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分），（当f关于x,y的偶函数，即f(-x,-y)=f(x,y)时）。

导数和积分互为逆运算：

F'(x)=f(x) ∫ f(x)dx=F(x)+c 既被积函数f(x)一定是F(x)+c的导数。

不大好用代数来解释，但可以理解为：求导数即为求原函数曲线的切线方程，一定是先有原函数，才有它的切线方程，既切线方程必有与之对应的原函数曲线。